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在我們回顧中學時期的數學知識時，關于計算形狀面積的公式可能會在腦海中浮現：矩形是底乘高，三角形是底乘高再除以2，圓形是π乘以半徑的平方……聽起來似乎很簡單直接。

不過，如果我們上的是古希臘的數學課，那么學到的可能就會完全不同。

古希臘數學家歐幾里得等人認為面積是幾何學的一部分，而非代數學的。他們在經典著作《幾何原本》中詳細記載了這種幾何視角。

這種觀念至今仍然影響著數學研究，并為數學家們提供了啟發。

現代數學家將歐幾里得的“面積相等”概念稱為“剪刀全等”。這個概念基于形狀的剪切和重新拼貼，引發了許多有趣的數學探索。

它既突顯了幾何學中的一些經典問題，同時也在抽象的現代數學世界中找到了嶄新的生機。

大家或許會覺得這種從剪刀和拼貼開始的方法有些奇怪，但實際上它是數學發展中的一種重要思維方式。

01

我們經常認為一個形狀的面積可以通過代數公式或微積分來計算出來。

但是，古希臘時期的數學家們對于面積有著不同的看法，他們將面積視為幾何的概念。

想象一下，你手里拿著一把剪刀、一些膠帶和一張紙，你被要求通過直線剪切的方式，將這張紙剪成一些碎片，然后可以任意地旋轉、翻轉碎片，并最后將它們粘在一起，拼成一個全新的形狀（大家可以自己實踐一下）。

圖源：網絡

通過使用面積的代數公式，我們可以計算出新形狀的面積等于紙的原始面積。

無論你如何剪切這個二維形狀，只要最后所有的碎片 都沒有重疊地粘在一起，新形狀的面積和原來形狀的面積總是相等的。

對于歐幾里得來說，面積是通過幾何上的“剪切和粘黏”來保持不變的度量。換句話說，他認為新形狀和原始紙張是“等價的”，而現代數學家則將這種等價關系稱為“剪刀全等”。

那么，這個新形狀可以是什么樣子的呢？由于我們只能進行直線剪切，新形狀必定是一個多邊形，且沒有一條邊是彎曲的。

圖源 ： 網絡

有一個有趣的問題是：我們是否能制作出任意與原始紙張面積相同的多邊形呢？

令人驚訝的是，答案是肯定的，甚至還有一本流傳至今的19世紀指南，可以一步一步地教我們如何做到這一點。

換句話說，對于多邊形而言，古希臘數學家歐幾里得的面積概念與現代數學中完全一致。 我們可能 在 不知情的情況下，就已經 在計算中 使用了歐幾里得的面積概念。

比如，我們可以用剪刀全等來計算五邊形的面積。

通過將五邊形剪切成一些小三角形，然后使用“1/2 × 底 × 高”來計算這些三角形的面積，并將它們相加，我們就可以得到最終的答案。

所以說，數學的世界真是奇妙無比。

無論是古希臘的幾何學還是現代的代數公式，它們都在努力幫助我們理解形狀和面積的概念。

02

在數學領域中，剪刀全等這個概念引起了廣泛的討論和研究。

著名數學家戴維·希爾伯特在一個多世紀前提出了一系列對20世紀數學發展至關重要的問題，其中有一個問題就與剪刀全等有關。

圖源 ： 網絡

這個問題涉及到三維多面體而不是二維多邊形。

具體而言，希爾伯特問的是：對于任意兩個等體積的多面體，是否總能將其中一個多面體切割成有限多個多面體，然后重新組合成另一個多面體？

希爾伯特的學生Max Dehn在問題提出的一年內找到了答案，但他給出的答案與二維情況非常不同。

他指出，當多面體被剪切時，體積并不是唯一保持不變的東西。還有另一種保持不變的度量，它由多面體的邊的長度和面與面之間的角度構成，現在被稱為Dehn不變量。

圖源 ： 網絡

如果兩個 多面體是剪刀全等的，那么它們必須具有相同的Dehn不變量。

因此，如果能找到兩個體積相同但Dehn不變量值不同的多面體，就能證明希爾伯特第三個問題的答案是否定的，即剪刀全等無法準確描述三維體積。

而Dehn正是做到了這一點，他證明了一個體積相同的立方體和四面體，卻具有不同的不變量。

這意味著無法將一個四面體剪切成有限數量的碎片，然后重新組裝成一個體積相同的立方體。

但是，體積和Dehn不變量是否就是我們需要了解的全部呢？

數學家花費了整整60年才回答了這個問題。在1965年，瑞士數學家Jean-Pierre Sydler證實了答案是肯定的，為剪刀全等問題寫下了最終的結論。

這段時間的數學發展不斷探索新領域，從代數公式到剪刀全等的概念，數學家們不斷努力探索更好地理解形狀和面積的方法。

無論是歐幾里得的幾何概念還是Dehn的不變量，都為我們提供了更深入的了解和思考的角度。

03

數學中的故事并沒有到此結束。 形狀不僅僅存在于三維空間中，還可以擴展到更高維度，如四維、一百維甚至三千四百八十五維。

盡管我們無法直觀地想象這些奇特的形狀，但一個新興的研究領域——廣義剪刀全等，正試圖解決希爾伯特關于剪刀全等問題在這些奇特形狀上是否也適用的問題。

但現在剪刀全等的定義變得更加復雜了。

希爾伯特和Dehn關注的是體積和角度等物理特征，而其他數學家則試圖將這些物理特征轉化為更抽象、無形的概念。

最近，數學家Jonathan Campbell和Inna Zakharevich發起了一個名為廣義剪刀全等的研究項目，并提出了一個統一的框架來解決這個問題。

他們使用了一種抽象而看似無關的數學工具包——代數K理論，來理解數學對象如何被分解成基本的組成部分。

通過對K理論的調整和應用，他們將其應用于廣義剪刀全等問題，并開辟了未來研究的新方向。

歸根結底，剪刀全等是一個具體的概念，并不需要過于復雜的數學知識才能理解。

我們只需要一些耐心、創造力，以及一把剪刀和大量膠帶，就可以嘗試剪切和重組形狀，從中發現數學的樂趣。

無論是在三維空間中還是更高維度中，剪刀全等問題都值得我們探索和思考，讓我們一起開啟數學的奇妙之旅吧！

百度百科

微信公眾號【原理】：《 一種古老的幾何視角，仍在推動前沿數學研究 》

超模君 說

看到最后

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